Jeffrey Cross
Jeffrey Cross

Segunda-feira de matemática: Toneladas de triângulos

Recentemente, por razões que ficarão claras nas próximas semanas, estou interessado em criar construções que usem muitas faces triangulares. Então, naturalmente, eu precisava de uma maneira de prototipar e projetar essas estruturas, e a primeira coisa que me veio à mente para construir rapidamente algo que envolvia muitos triângulos interligados era um produto chamado PolyPuzzle.

O PolyPuzzle consiste em formas pré-cortadas feitas de papel pesado, com abas que permitem que você interligue as formas lado a lado, como peças de quebra-cabeça.

De fato, eu fui capaz de ligá-los para criar formas familiares e básicas como um octaedro regular (em amarelo) e um icosaedro regular (em azul). E eu fui inspirado pela aparência das versões "tudo-menos-um-cara" dessas mandíbulas que parecem poliedros esperando para morder alguma coisa - para conectar os dois sólidos, assim.

Bem, qualquer coisa que valha a pena ser feita uma vez vale a pena ser feita duas vezes, então eu removi uma face de cada outro icosaedro e da estrutura até agora, e então consegui ligar os dois juntos, criando uma espécie de barra.

Agora, esta imagem era extremamente reminiscente de outro produto para construções geométricas, ou seja, Zometool, que também tem nós em forma de bola que podem ser conectados juntos como halteres. E um pouco mais de reflexão deixou claro que se alguém usar apenas as “linhas amarelas” triangulares de Zometool, você pode construir exatamente as mesmas estruturas gerais que o icosaedro que eu construí conectado por octaedra.

Esta correspondência é válida porque as vinte faces triangulares do hub Zometool estão exatamente nos mesmos ângulos das faces de um icosaedro (na verdade, o hub de zometool é simplesmente um icosaedro cantado), e porque o suporte de Zometool amarelo tem os mesmos 60 graus rotação entre suas extremidades opostas como o octaedro faz entre suas faces opostas (surgindo do fato de que o octaedro regular é também o antiprisma triangular).

Então, essas observações levaram a explorar que tipo de coisas você pode fazer com apenas as linhas amarelas do Zometool. Eu comecei com estes dois poliedros rômbicos,

um hexaedro e um dodecaedro, mas eram um pouco mais simples do que eu estava procurando. A próxima tentativa foi este encantador enneacontáedro rômbico; mas com 92 hubs e 180 conectores, o que se traduziria em mais de 2.000 triângulos quando construído a partir de icosaedros e octaedros, era um pouco ambicioso demais.

No entanto, um resultado positivo da construção do enneacontáedron foi que ele mostrou que cinco octaedros poderiam ser conectados a um icosaedro, de modo que colocaria o icosaedro vizinho nos vértices de um pentágono regular.

Além disso, você pode conectar dois destes pentágonos ao longo de uma borda, e até três em um vértice.

Esses fatos sugeriam fortemente que seria possível construir algo com simetria dodecaédrica e, de fato, continuar conectando as estruturas pentagonais produzidas nesse modelo adorável.

Então, eu decidi sobre isso como o esqueleto ou esquema de uma construção triangular, e decidi construir um modelo inteiramente a partir de triângulos. Vamos ver como foi, nas próximas semanas.

Ação

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