Jeffrey Cross
Jeffrey Cross

Math Monday: Linkages - Vamos entender isso

Para o Museu de Matemática

O Math Mondays retorna a sua turnê de várias partes do maravilhoso mundo das conexões. Veja a introdução da série Linkages para o MoMath Linkage Kit, uma introdução e instruções gerais.

Se você se lembra, na última parte antes de fazermos uma pausa, o Math Mondays fez uma pergunta / desafio: existe uma ligação de quatro barras que produz movimentos precisos e retos? Como sobre uma ligação? A coluna de hoje, em vez de revelar a resposta, mostra a profundidade, a sutileza e a persistência desse problema, dando três “quase erros” que os pesquisadores tentando resolver esse problema criaram. A primeira delas foi concebida pelo matemático de destaque histórico, Chebyshev, mostrando que esse era um problema de grande respeito e significado matemático.

Enchimento Chebychev Ingredientes: Uma barra de 48 barras (A), duas barras de 60 barras (B e D), uma de 24 barras com um furo a 12 (C) e uma caneta.

Direções: Corrigir um horizontalmente. Vincule a extremidade esquerda de A a B a C0; ligue C24 a D e D de volta à extremidade direita de A. Coloque uma caneta em C12.

Para usar: Mova um 60 para frente e para trás o máximo possível, mantendo a caneta no buraco desenhando no papel.

Para uma mudança de ritmo, aqui está o elo construído pela mão de cortar as partes do kit de papel em vez de corte a laser de acrílico, e usando fixadores de papel de latão para os links:

E aqui estão dois tiros do desenho; observe como as barras de 60 têm que se cruzar para obter a seção (aparentemente muito reta) da curva:

Quando Chebyshev descobriu que a curva acima não é de fato perfeitamente reta em qualquer parte, e foi suficientemente frustrada em seus esforços para encontrar uma ligação em linha reta, ele conjeturou que era matematicamente impossível fazer qualquer ligação em linha reta. Isso não impediu que outros tentassem. Aqui estão algumas outras tentativas:

Ligação de Hoekens

Ingredientes: 24-bar (A), 12-bar (B), 60-bar com furo a 30 (C), 30-bar (D) e uma caneta.

Direções: Corrigir um horizontalmente. Vincule a extremidade esquerda de A a B a C0; ligue C30 a D e D de volta à extremidade direita de A. Coloque uma caneta no C60.

Para usar: Gire B uma volta completa, mantendo a caneta no buraco desenhando no papel.

Aqui está o linkage pronto para desenhar:

E aqui está a curva completa:

Parece familiar? Surpresa, a ligação de Hoekens e a ligação de Chebyshev produzem exatamente a mesma curva. De fato, há toda uma teoria de “ligações cognatas” que produzem a mesma curva de saída. Esta teoria inclui o Teorema de Roberts-Chebychev, afirmando que “cada curva de acoplamento [saída] pode ser gerada por três diferentes ligações de quatro barras”.

Bem, se Roberts foi esperto o bastante com vínculos para ter um teorema com Chebyshev sobre eles, então ele também deve ter sua própria ligação, certo? Exatamente:

Roberts Linkage Ingredientes: Uma barra de 48 barras (A), quatro barras de 60 barras (B, C, E, F), uma de 12 barras (D), duas de três camadas e uma caneta.

Direções: Corrigir um horizontalmente. Vincule a extremidade esquerda de A a B. Vincule a extremidade mais distante de B a C e D. Vincule a outra extremidade de D a E e F. Vincule a outra extremidade de F de volta à extremidade direita de A. Por fim, link as duas pontas soltas - as extremidades de C e E - junto com uma caneta.

Para usar: Mova a caneta para a frente e para trás.

Aqui está uma foto da ligação Roberts construída e em ação. Mais uma vez, parece reto, mas não é. Observe que a barra horizontal A está oculta sob o papel no qual a articulação está sendo desenhada.

Da próxima vez: Resolução do mistério da linha reta.

Mais:

  • Ligações, Introdução
  • Ligações, parte 2: quatro barras, uma liberdade
  • Ligações, Parte 3: Quatro Barras, Duas ou Três Posições
  • Ligações, Parte 4: Quatro Barras, Quatro Posições
  • Ligações, parte 5: quatro barras, mais posições?
  • Ligações, Parte 6: Biomimética
  • Ligações, Parte 7: O Mundo “B.X.”
  • Ligações, Parte Parte 8: Em Busca da Retidão
  • Veja todas as nossas colunas Math Monday

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